Passo 1
Il posto decide quanto vale
Partiamo da una cosa sola: una bottiglia piena. Adesso la tagliamo. Regola del laboratorio: si taglia sempre in 10 parti uguali, mai a caso.
- Non la taglio: è 1 unità.
- La taglio in 10 fette: ogni fetta è 1 decimo. Per rifare la bottiglia intera ne servono 10.
- Taglio ogni fetta in 10: vengono 100 fettine. Ognuna è 1 centesimo. Per rifare la bottiglia ne servono 100.
- Taglio ancora ogni fettina in 10: vengono 1000 pezzettini. Ognuno è 1 millesimo, così sottile che nel disegno non si vedrebbe.
Guarda che cosa succede ogni volta: si taglia in 10 e i pezzi diventano 10 volte più piccoli. Sono di più, ma ognuno vale di meno. Mille millesimi non sono tantissima roba: sono sempre una bottiglia sola.
Adesso leggiamo il numero della pozione: 1,234
Una cifra da sola non dice niente. Prima di tutto guardo in che posto si trova, e il posto mi dice quanto vale.
- Il 1 sta prima della virgola → è 1 bottiglia intera.
- Il 2 è nel primo posto dopo la virgola → sono 2 fette su 10, cioè 2 decimi.
- Il 3 è nel secondo posto → sono 3 fettine su 100, cioè 3 centesimi.
- Il 4 è nel terzo posto → sono 4 pezzettini su 1000, cioè 4 millesimi.
Lo leggo ad alta voce così: «una bottiglia intera, e poi 2 decimi, 3 centesimi e 4 millesimi». Se lo dici tutto intero, non sbagli i posti.
In che posto sei? Il posto decide quanto vali.
| Unità | , | Decimi | Centesimi | Millesimi |
|---|---|---|---|---|
| 1 | , | 2 | 3 | 4 |
| 1 bottiglia intera | la gemma | 2 fette su 10 | 3 fettine su 100 | 4 pezzettini su 1000 |
| è già intera | ne servono 10 per fare 1 bottiglia | ne servono 100 per fare 1 bottiglia | ne servono 1000 per fare 1 bottiglia |
La virgola non è un segno qualunque: è la gemma. Sta ferma in mezzo e separa due mondi. A sinistra le cose intere, a destra i pezzi. Sul banco vero, mettici un sasso o un bottone grande: deve essere sempre lo stesso oggetto.
Attenzione all’errore più comune. «3,45 è più grande di 3,5 perché ha più cifre»: non è vero. Le cifre non si contano.
Si confronta un posto alla volta, partendo da sinistra. Le unità sono uguali (3 e 3). Allora si guardano i decimi: 4 contro 5. Vince 3,5, anche se sembra più corto.
Passo 2
Quando in un posto ci stanno troppi ingredienti
Nel laboratorio c’è una regola sola, e vale per tutti gli scaffali: in un posto ci stanno al massimo 9 ingredienti. Appena arriva il decimo, quei dieci si fondono e diventano 1 solo ingrediente dello scaffale a sinistra.
Sul quaderno questa fusione si chiama riporto: scrivo sotto solo l’ultima cifra e porto 1 nella colonna di sinistra. Guarda i quattro momenti.
Dieci qui fanno uno là.
9 millesimi = 0,009
10 millesimi: troppi per un posto solo
10 millesimi = 1 centesimo
0,009 + 0,001 = 0,010
Questo vale solo quando si aggiunge. Nella sottrazione succede il contrario: invece di mandare roba a sinistra, si va a chiederla. Si chiama prestito e lo guardiamo subito qui sotto, al passo 3.
Passo 3
Quando in un posto gli ingredienti non bastano
Nella sottrazione capita spesso: sopra ho pochi ingredienti e sotto me ne chiedono di più. Non si salta la colonna e non si gira l’operazione al contrario. Si va a chiedere al vicino di sinistra, che ha i pezzi più grandi.
Facciamo insieme la prima colonna di 5,125 − 2,347, quella dei millesimi. Tocca i cinque momenti, uno alla volta.
Il vicino presta uno, e qui diventa dieci.
5 − 7 = ?
ne mancano 2
il vicino ne presta 1
5 + 10 = 15 millesimi
15 − 7 = 8
La parte che si dimentica sempre. Il vicino ha prestato, quindi ha un pezzo in meno. Quando arrivo nella sua colonna devo usare il numero nuovo, non quello scritto all’inizio.
Se il vicino ha 0 e non può prestare niente, si bussa a quello ancora più a sinistra: il pezzo passa di mano in mano, spezzandosi in 10 a ogni tappa.
Passo 4
Le operazioni, passo per passo
Prima di calcolare qualsiasi cosa, si fanno sempre questi quattro gesti. Sempre nello stesso ordine.
- Incolonno: gemma sotto gemma. Se le virgole sono in fila, ogni cifra cade nel suo posto da sola.
- Riempio i buchi: se un numero è più corto, metto uno zero. Lo zero non aggiunge niente, tiene solo il posto occupato.
- Parto da destra: dal posto più piccolo, e vado verso sinistra una colonna alla volta.
- Scendo la gemma: nel risultato la virgola va scritta dritta sotto le altre due.
Gemma sotto gemma, e parto da destra.
Livello 1 · solo decimi
5,6 + 3,9. Comincio dai decimi: 6 e 9 fanno 15 decimi. Quindici decimi in un posto solo non ci stanno. Dieci si fondono e diventano 1 unità: la porto sopra la colonna delle unità. Sotto scrivo il 5 che avanza. Adesso le unità: 5 e 3 fanno 8, più l’1 del riporto fa 9. Scendo la gemma: 9,5.
8,3 − 4,6. Dai decimi: 3 meno 6 non si può, ne servono di più. Chiedo in prestito 1 unità al vicino: si spezza in 10 decimi, che con i 3 di prima fanno 13. Adesso 13 meno 6 fa 7. Il vicino però ha prestato, quindi non ha più 8 ma 7: 7 meno 4 fa 3. Risultato 3,7.
Livello 2 · decimi e centesimi
Lo zero che tiene il posto. In 7,2 il posto dei centesimi è vuoto. Non lo lascio in bianco: ci scrivo uno zero e diventa 7,20. Non ho aggiunto niente alla pozione, ho solo occupato la sedia perché nessuno se la prenda.
7,20 + 1,95. Centesimi: 0 e 5 fanno 5. Decimi: 2 e 9 fanno 11 decimi, cioè dieci che se ne vanno a sinistra (riporto 1) e 1 che resta. Unità: 7 e 1 fanno 8, più il riporto fa 9. Risultato 9,15.
Livello 3 · decimi, centesimi e millesimi
La prima operazione non ha nessun riporto: serve per prendere confidenza con le colonne lunghe. La seconda ne ha tre uno dietro l’altro. La terza chiede prestiti a catena.
Con quattro colonne il rischio è solo uno: perdere il posto. Per questo si copre con un dito la parte già fatta e si guarda una colonna alla volta.
Facciamola insieme: 4,708 + 3,596
Millesimi: 8 + 6 = 14. Scrivo 4, dieci se ne vanno a sinistra: riporto 1 sui centesimi.
Centesimi: 0 + 9 + 1 = 10. Scrivo 0, riporto 1 sui decimi.
Decimi: 7 + 5 + 1 = 13. Scrivo 3, riporto 1 sulle unità.
Unità: 4 + 3 + 1 = 8.
Scendo la gemma e leggo: 8,304. Controllo veloce: 4 e 3 fanno 7, i pezzetti insieme superano l’unità, quindi 8 e qualcosa. Torna.
Facciamola insieme: 5,125 − 2,347
Millesimi: 5 meno 7 non si può. Prendo in prestito 1 centesimo, che qui vale 10: 15 meno 7 fa 8. I centesimi da 2 diventano 1.
Centesimi: 1 meno 4 non si può. Prestito dai decimi: 11 meno 4 fa 7. I decimi da 1 diventano 0.
Decimi: 0 meno 3 non si può. Prestito dalle unità: 10 meno 3 fa 7. Le unità da 5 diventano 4.
Unità: 4 meno 2 fa 2.
Risultato: 2,778.
Passo 5
Gli stessi pezzi, ma delle misure
I decimi, i centesimi e i millesimi non stanno solo dentro la pozione. Sono anche i pezzi del metro, del litro e del chilogrammo. Tagli il metro in 10 e ottieni i decimetri, in 100 i centimetri, in 1000 i millimetri: sono esattamente i decimi, i centesimi e i millesimi di prima, con un altro nome.
| 1 metro | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|
| 1 intero | 1 decimo | 1 centesimo | 1 millesimo |
| la bottiglia piena | 1 fetta su 10 | 1 fettina su 100 | 1 pezzettino su 1000 |
Ecco perché 1,234 m si legge proprio come la pozione: 1 metro intero, 2 decimetri, 3 centimetri e 4 millimetri. Cambiare unità — fare un’equivalenza — vuol dire solo leggere lo stesso numero da un altro posto: le cifre restano ferme e si sposta soltanto la gemma, esattamente come qui.
Le cifre stanno ferme, si muove solo la gemma.
Nella pozione la gemma sta ferma in mezzo. Nelle misure, invece, la fai scorrere: la porti sull’unità in cui vuoi leggere e il numero si trasforma da solo. Lo strumento qui sotto fa proprio questo, sul metro, sul litro, sul grammo e sui numeri.
Per l’adulto
Perché il laboratorio funziona
La matematica astratta può produrre frustrazione e sovraccarico cognitivo. Un approccio multisensoriale, visivo e narrativo dà un senso concreto al valore posizionale: la cifra non è un simbolo da ricordare, è un oggetto che occupa un posto preciso sul banco.
Ancoraggio cromatico
Un colore fisso per ogni posto. La memoria di lavoro non deve più tenere a mente dove va la virgola o dove si scrive il riporto: lo vede.
Canale tattile e motorio
Spostare oggetti reali incanala l’iperattività e allunga i tempi di attenzione. La mano lavora mentre la testa capisce.
Regole prevedibili
Caselle fisse e una sola regola (dieci qui fanno uno là) riducono l’ansia da pagina bianca e rendono la procedura ripetibile senza sorprese.
Ricetta, non compito
Completare una pozione ha un finale visibile. L’errore diventa «manca un ingrediente» invece di «ho sbagliato».
Il banco vero, da preparare in cinque minuti
- Unità: bottiglie o bicchieri grandi con acqua colorata.
- Decimi: provette medie o siringhe da cucina.
- Centesimi: pipette piccole, polvere brillante o glitter.
- Millesimi: perline, semi o sale colorato.
- La gemma: un sasso, un bottone grande, una biglia: sempre lo stesso oggetto.
- Il tabellone: un vassoio diviso in quattro zone con nastro gommato in rilievo, con gli stessi colori di questa pagina.
Sequenza consigliata: prima si compone il numero solo con gli oggetti, poi lo si scrive accanto sul quaderno, infine si toglie il materiale. Il passaggio alla carta arriva per ultimo, quando la mano ha già capito.
Le frasi da usare sempre uguali
«In che posto sei?» per ogni cifra. «Dieci qui fanno uno là» per il riporto. «Il vicino presta uno, e qui diventa dieci» per il prestito. «Gemma sotto gemma» per l’incolonnamento. Ripetere sempre la stessa formula, parola per parola, riduce il carico: il bambino riconosce la frase e sa già quale gesto seguirà.
Come si legge un numero decimale ad alta voce
1,234 si legge «uno virgola duecentotrentaquattro», oppure per esteso «una unità e duecentotrentaquattro millesimi». La seconda forma è più lenta ma dice esattamente che cosa c’è nell’ampolla: conviene usarla finché il concetto non è stabile.
Se l’errore torna sempre uguale
Confronto sbagliato («3,45 > 3,5»): tornare al materiale e mettere in fila 5 provette contro 4 provette e 5 pipette. Incolonnamento a destra invece che sotto la virgola: rimettere la gemma e lo zero segnaposto. Riporto dimenticato: far dire ad alta voce il numero intero prima di scriverlo («quindici decimi»), così il dieci si sente. In tutti i casi conviene rifare l’operazione con gli oggetti, non ripetere la regola a voce.