Le frazioni complementari sono due frazioni che, sommate, ricostruiscono l’intero.

Pensa a una pizza tagliata in 8 fette uguali. Ne mangiamo 3: abbiamo preso 3/8 della pizza. Nel piatto restano 5 fette: 5/8. Mettendo insieme le due parti otteniamo 8/8, cioè la pizza intera. Per questo 3/8 e 5/8 sono frazioni complementari.

Parole da sapere

• Intero: la cosa tutta intera (la pizza, la striscia, la figura). Vale 1.
• Denominatore (il numero sotto): in quante parti uguali è diviso l’intero.
• Numeratore (il numero sopra): quante parti prendo.
• Complementare: la parte che manca per completare l’intero.

Cosa sono le frazioni complementari

Due frazioni sono complementari quando, sommate, fanno 1. Nella scuola primaria si scrivono quasi sempre con lo stesso denominatore. In quel caso basta controllare due cose:

1. Hanno lo stesso denominatore: parlano dello stesso intero, diviso nello stesso numero di parti.
2. I numeratori, sommati, danno il denominatore.

3/7 e 4/7 sono complementari: 3 + 4 = 7, e 7/7 = 1.
2/6 e 3/6 non lo sono: insieme fanno 5/6. Manca ancora 1/6 per arrivare all’intero.

Con le figure il legame si vede subito. Dividi una figura in parti uguali e colorane alcune: la parte colorata e la parte rimasta bianca sono due frazioni complementari. Colorata + bianca = tutta la figura.

Il mantra: colorata + bianca = tutta la figura = 1.

Prima di arrivare ai numeri conviene passare per gli oggetti veri e per i disegni. Il percorso è spiegato nella nostra guida sul modello CPA nella matematica per la primaria.

Come si trova la frazione complementare

Bastano due passi.

1. Il denominatore resta uguale. L’intero è diviso sempre nelle stesse parti.
2. Il numeratore è quello che manca: si fa denominatore meno numeratore.

Esempio: qual è la frazione complementare di 5/8?

1. Il denominatore resta 8.
2. Al numeratore faccio 8 − 5 = 3.
3. La complementare è 3/8.
4. Faccio la prova: 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1. ✔

Due modi per trovarla

• Con il disegno, quando le parti sono poche. Disegno l’intero, lo divido in parti uguali, coloro la frazione di partenza e conto le parti bianche. Le parti bianche sono il numeratore della complementare.
• Con il calcolo, quando le parti sono tante e il disegno diventa impossibile. La complementare di 11/121 si trova così: 121 − 11 = 110, quindi 110/121. Disegnare 121 parti non serve: la regola funziona sempre.

Come capire se due frazioni sono complementari

Segui tre controlli, uno alla volta:

1. I denominatori sono uguali? Se sì, vai al punto 2. Se no, vai al punto 3.
2. Sommo i numeratori: fa quanto il denominatore? Se sì, sono complementari.
3. Denominatori diversi? Prima trasformo una frazione in una equivalente con lo stesso denominatore, poi torno al punto 2.

Coppia	Controllo	Complementari?
2/7 e 5/7	2 + 5 = 7 → 7/7 = 1	✔ sì
4/9 e 4/9	4 + 4 = 8 → 8/9	✘ no: manca 1/9
5/4 e 3/4	5 + 3 = 8 → 8/4 = 2	✘ no: fanno 2 interi
1/2 e 1/2	1 + 1 = 2 → 2/2 = 1	✔ sì: 1/2 è la complementare di sé stessa
1/4 e 6/8	1/4 = 2/8 → 2 + 6 = 8 → 8/8 = 1	✔ sì, dopo averle scritte con lo stesso denominatore

Esempi di frazioni complementari

Frazione	Complementare	Somma	Risultato
1/2	1/2	2/2	1
1/3	2/3	3/3	1
3/4	1/4	4/4	1
5/6	1/6	6/6	1
5/8	3/8	8/8	1
4/7	3/7	7/7	1
6/15	9/15	15/15	1
4/15	11/15	15/15	1
3/10	7/10	10/10	1
28/100	72/100	100/100	1

Quando la frazione complementare non esiste

• Frazioni proprie (numeratore più piccolo del denominatore, come 3/5): la complementare c’è sempre ed è una sola.
• Frazioni apparenti uguali a 1 (come 5/5): sono già l’intero, non manca niente.
• Frazioni improprie (numeratore più grande del denominatore, come 7/4): superano già l’intero. Nessuna frazione aggiunta può farle tornare a 1, quindi non hanno complementare.

Gli errori più comuni e come aiutare

Errore	Perché succede	Come aiutare
3/8 + 5/8 = 8/16	Il bambino somma tutti i numeri che vede	“La pizza non diventa di 16 fette”: il denominatore dice in quante parti è tagliata e resta 8
Complementare di 3/8 = 3/8	Scrive le parti colorate invece di quelle bianche	Fai indicare con il dito solo le parti bianche, poi contarle
Complementare di 3/8 = 5/10	Cambia il denominatore	Mantra: “il numero sotto resta uguale”
0,28 + 0,82 = 1	Porta ogni cifra a 10	Solo l’ultima cifra fa 10, le altre fanno 9
0,28 + 0,71 = 1	Porta ogni cifra a 9	Prova in colonna: fa 0,99, manca 1 centesimo
1,8 + 0,02 = 2	Confonde decimi e centesimi	Colora sulla griglia: mancano 2 decimi, cioè 0,2

Frazioni complementari con i numeri decimali

Con le frazioni decimali funziona allo stesso modo. Si possono scrivere anche con la virgola:

3/10 + 7/10 = 1 → 0,3 + 0,7 = 1

Con decimi, centesimi e millesimi si usa il trucco del 9 e del 10:

• le cifre dopo la virgola fanno 9;
• l’ultima cifra fa 10.

Ho	Cifra per cifra	Manca
0,28	2 + 7 = 9 · 8 + 2 = 10	0,72
0,201	2 + 7 = 9 · 0 + 9 = 9 · 1 + 9 = 10	0,799
0,90	Tolgo lo zero in fondo: 0,90 = 0,9 · 9 + 1 = 10	0,1 (cioè 0,10)

La prova si fa in colonna, virgola sotto virgola:

  0,201 +
  0,799 =
  -----
  1,000

Per allenarti sui posti delle cifre (decimi, centesimi, millesimi) e sullo zero che tiene il posto, prova la nostra applicazione con esercizi interattivi sui decimali.

Completare fino all’intero successivo

Se il numero è più grande di 1, si completa fino all’intero che viene subito dopo. Le unità intere ci sono già, quindi si lavora solo sulla parte dopo la virgola:

• 3,7 + 0,3 = 4
• 2,6 + 0,4 = 3
• 1,8 + 0,2 = 2 (e non 0,02: mancano 2 decimi)

Problemi con le frazioni complementari

Problema 1 – Il libro. Luca ha letto 3/8 di un libro di 96 pagine. Che frazione del libro gli manca? Quante pagine sono?

1. Frazione che manca: il denominatore resta 8, sopra 8 − 3 = 5 → 5/8.
2. Una parte: 96 : 8 = 12 pagine.
3. Le parti che mancano: 12 × 5 = 60 pagine.
4. Prova: 12 × 3 = 36 pagine lette; 36 + 60 = 96. ✔

Problema 2 – La bottiglia. Una bottiglia contiene 1 litro d’acqua. Anna ne beve 0,35 litri. Quanta acqua resta?

1. Trucco del 9 e del 10: 3 + 6 = 9, 5 + 5 = 10.
2. Restano 0,65 litri.
3. Prova: 0,35 + 0,65 = 1,00. ✔

Come spiegarle ai bambini con DSA, ADHD e autismo

Le frazioni complementari si prestano bene alla Progettazione Universale per l’Apprendimento (UDL): la stessa idea, presentata in più modi, permette a ogni bambino di trovare la strada che funziona per lui.

1. Più modi per vedere l’idea (rappresentazione)

• Concreto: una pizza di cartone, una striscia di carta da piegare, i mattoncini.
• Disegno: figure da colorare, la griglia da 10 (decimi) e da 100 (centesimi).
• Simbolo: la frazione scritta, solo alla fine.
• Colori fissi: un colore per la parte presa, uno per quella che manca. Non cambiarli da un esercizio all’altro.
• Testo corto: una consegna per riga, poche parole, un esempio sempre visibile.

2. Più modi per rispondere (azione ed espressione)

• Colorare, indicare con il dito, ritagliare, rispondere a voce o scegliere fra due opzioni.
• Scrivere il numero è solo uno dei modi possibili.
• Per chi fatica con la grafia: caselle grandi o un tastierino numerico.

3. Più modi per restare coinvolti (coinvolgimento)

• Contesti vicini al bambino: la merenda, il gioco, la sua stanza.
• Niente cronometro. Esercizi brevi, a pacchetti, con una pausa dopo ogni pacchetto.
• Prima errorless: il primo esercizio si fa insieme, passo per passo. Poi gli aiuti si tolgono piano piano.
• L’errore si spiega con un perché (“hai scritto le parti colorate”), non con un semplice “sbagliato”.

Una routine che funziona

1. Guardo l’intero: in quante parti è diviso? (il numero sotto)
2. Conto le parti colorate. (il numero sopra)
3. Conto le parti bianche: è la complementare.
4. Faccio la prova: colorate + bianche = tutte.

Da evitare: spiegare la regola prima di aver usato oggetti e disegni; schede fitte di esercizi tutti uguali; correggere con il rosso senza dire il perché.

Frazioni complementari ed equivalenti: la differenza

Si studiano negli stessi mesi, ma rispondono a domande diverse.

	Complementari	Equivalenti
Domanda	Quanto manca per fare l’intero?	Valgono la stessa quantità?
Esempio	1/4 e 3/4	1/2 e 2/4
Come si trovano	Con una sottrazione: denominatore − numeratore	Moltiplicando o dividendo sopra e sotto per lo stesso numero (proprietà invariantiva)
Insieme fanno	Sempre 1	Non si sommano: sono la stessa quantità scritta in due modi

In che classe si studiano

• Classe terza: si introducono le frazioni complementari partendo dall’unità frazionaria e dalle figure (forme da colorare, strisce di carta, linee dei numeri). È lo stesso anno in cui si consolidano i cambi del sistema decimale, come spiegato nella guida sui numeri fino a 1000 per la classe terza.
• Classe quarta: l’idea si allarga alle frazioni con denominatore 10, 100 e 1000, ai numeri con la virgola e al trucco del 9 e del 10 per completare l’intero.

Esercizi progressivi per la classe e per casa

Una progressione in cinque passi, dal concreto all’astratto:

1. Riconosco con le figure: guardo una figura divisa in parti, scrivo la frazione colorata e quella bianca.
2. Compongo i decimali: costruisco decimi e centesimi sulla griglia e li scrivo con la virgola.
3. Trovo la complementare: denominatore uguale, sopra denominatore − numeratore.
4. Faccio la prova in colonna: virgola sotto virgola, il risultato deve essere 1.
5. Completo fino all’intero successivo: 1,8 + ? = 2.

Puoi stampare schede pronte o usare le attività digitali nella sezione schede ed esercizi interattivi di MenteMappa.

Domande frequenti

Che cosa sono le frazioni complementari?
Sono due frazioni che, sommate, formano l’intero (1). Ad esempio 2/5 e 3/5 sono complementari perché 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1.

Come si trova la frazione complementare?
Il denominatore resta uguale; al numeratore si fa denominatore meno numeratore. La complementare di 5/8 è 3/8, perché 8 − 5 = 3.

Quante frazioni complementari ha una frazione?
Una frazione propria (minore di 1) ne ha una sola. Una frazione impropria (maggiore di 1) non ne ha, perché supera già l’intero.

Qual è la frazione complementare di 3/4?
È 1/4, perché 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Qual è la frazione complementare di 2/3?
È 1/3, perché 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1.

Due frazioni con denominatori diversi possono essere complementari?
Sì, se sommate fanno 1. Per controllarlo si scrivono prima con lo stesso denominatore: 1/4 e 6/8 diventano 2/8 e 6/8, che insieme fanno 8/8 = 1.

Quando una frazione si dice decimale?
Quando il denominatore è 10, 100, 1000 e così via, come 7/10 o 45/100.

Come si trasforma una frazione decimale in numero decimale?
Si scrive il numeratore e si mettono dopo la virgola tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore. Ad esempio 7/100 = 0,07 e 3/10 = 0,3.

Qual è il complemento all’intero di 3,7?
Per arrivare all’intero successivo, 4, mancano 0,3: 3,7 + 0,3 = 4. Si completa solo la parte dopo la virgola.